SØK

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjonuten "hopp", det vil si betingelsen er fornøyd: små endringer i argumentet blir fulgt av små endringer i de tilsvarende verdiene av funksjonen. Grafen for en slik funksjon er en jevn eller kontinuerlig kurve.

Kontinuitet ved punktet, grensen for noensett kan defineres ved hjelp av begrepet en grense, nemlig: en funksjon må ha en grense på dette punktet, som er lik verdien i grensepunktet.

Hvis disse forholdene brytes på et tidspunkt,si at en funksjon på et gitt punkt lider av en diskontinuitet, det vil si kontinuiteten er brutt. På grenseverdien kan punktet av diskontinuitet beskrives som en feilmatch av verdien av en funksjon på et diskontinuerlig punkt med grensen for en funksjon (hvis den eksisterer).

Poenget med diskontinuitet kan elimineres, for detteDet er nødvendig å ha grensen til en funksjon, men det faller ikke sammen med verdien på et gitt punkt. I dette tilfellet kan det "korrigeres" på dette tidspunktet, det vil si det kan utvides til kontinuitet.
Bildet er ganske annerledes hvis grensen for funksjonen på et gitt punkt ikke eksisterer. Det er to mulige bruddpunkter:

  • den første typen - begge ensidige grenser eksisterer og er endelige, og verdien av en av dem eller begge sammenfaller ikke med verdien av funksjonen på et gitt punkt;
  • av den andre typen, når en eller begge ensidige grenser ikke eksisterer eller deres verdier er uendelige.

Egenskaper for kontinuerlige funksjoner

  • Funksjonen oppnådd som følge av aritmetiske operasjoner, samt overlegning av kontinuerlige funksjoner på deres domene, er også kontinuerlig.
  • Hvis en kontinuerlig funksjon er gitt som er positiv på et tidspunkt, er det alltid mulig å finne en tilstrekkelig liten dens nabolag som den vil beholde sitt tegn på.
  • Tilsvarende, hvis dets verdier er på to punkter A og Ba og b er lik, og a er forskjellig fra b, så for mellompoeng vil det ta alle verdier fra intervallet (a; b). Herfra kan du lage en interessant konklusjon: Hvis du gir en strukket elastikk for å krympe slik at den ikke faller (den forblir rett), vil en av dens punkter forbli fast. Og geometrisk betyr dette at det er en linje som går gjennom et mellompunkt mellom A og B, som krysser grafen for funksjonen.

Legg merke til noen av de kontinuerlige (på domenet til deres definisjon) elementære funksjoner:

  • konstant;
  • rasjonell;
  • trigonometri.

Mellom de to grunnleggende konseptene imatematikk - kontinuitet og differensialitet - det er en uløselig link. Det er nok bare å huske at for funksjonens differensialitet er det nødvendig at det er en kontinuerlig funksjon.

Hvis funksjonen er differensibel på et tidspunkt, så er det kontinuerlig. Det er imidlertid ikke nødvendig at dets derivat er kontinuerlig.

Funksjon å ha på noen settkontinuerlig derivat, tilhører en egen klasse av glatte funksjoner. Med andre ord er det en kontinuerlig differensierbar funksjon. Hvis derivatet har et begrenset antall diskontinuitetspoeng (bare av den første typen), kalles denne funksjonen stykkvis glatt.

Et annet viktig konsept for matematisk analyseer den ensartede kontinuiteten til en funksjon, det vil si dens evne til å være like kontinuerlig til enhver tid i sitt definisjonsdomen. Dermed er dette en eiendom som vurderes på et sett med poeng, og ikke på noen enkelt.

Hvis du løser poenget, får du ingentingannet enn definisjonen av kontinuitet, det vil si at eksistensen av en jevn kontinuitet innebærer at vi har en kontinuerlig funksjon. Vanligvis er det omvendte ikke sant. Imidlertid er det ifølge Cantors teorem, om en funksjon er kontinuerlig på et kompakt sett, det vil si i et lukket intervall, så er det jevnt kontinuerlig på det.

  • evaluering: